Teori Bilangan - SKD/TKD

Teori Bilangan - SKD/TKD

Dalam mempelajari TIU lebih lanjut, kita harus memahami dengan baik teori bilangan. Hampir dalam setiap bab kita akan menggunakan teori bilangan, baik dalam hitungan maupun non-hitungan.

 

A. Jenis-Jenis Bilangan

 

No	Bilangan	Pengertian	Contoh
1	Bulat	terdiri dari 3 jenis: positif, nol,  negatif	-3,-2,-1,0,1,2,3
2	Asli	bulat positif tanpa nol	1,2,3,4
3	Cacah	bulat positif dengan nol	0,1,2,3,4
4	Prima	bilangan asli yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri	2,3,5,7,11
5	Rasional	bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pembagian 2 bilangan bulat (gabungan dari bilangan bulat dan pecahan)	1/2, -2/5, 5,7,8,-5
6	Irasional	kebalikan dari rasional	√2 ,√3
7	Pecahan	Bilangan rasional yang dapat di bentuk sebagai a/b , a dan b adalah bilangan bulat. Dimana b ≠0	1/2  ,2/3  ,7/8

  

B. Operasi Hitung

 1. Penjumlahan dan pengurangan

2. Perkalian atau Pembagian

Berikut ini adalah tabel perkalian dan pembagian tanda atribut negatif dan positif.

Perpindahan ruas

Jika terjadi perpindahan ruas, maka bilangan yang memilik tanda positif akan menjadi negatif, dan sebaliknya.

Contoh :
10 + x = 25
Maka, pindahkan +10 ke ruas kanan menjadi x=25-10, sehingga x=15.

 

Begitu juga dengan tanda ÷ dan ×, jika pindah ruas akan menjadi tanda yang sebaliknya.
Contoh :
a × 8 = 16
Maka, pindahkan 8 ke ruas kanan, menjadi a = 16/8, sehingga a = 2.

 

Trik Bilangan khusus

• Bilangan habis dibagi 3 jika jumlah semua digitnya habis dibagi 3
• Bilangan habis dibagi 9 jika jumlah semua digitnya habis dibagi 9
• Bilangan habis dibagi 11 jika selisih antara jumlah digit ganjil dengan jumlah digit genapnya habis dibagi 11
• Bilangan habis dibagi 2 jika digit terakhirnya habis dibagi 2
• Bilangan habis dibagi 4 jika 2 digit terakhirnya habis dibagi 4
• Bilangan habis dibagi 8 jika 3 digit terakhirnya habis dibagi 8
• Bilangan habis dibagi 5 jika digit terakhirnya 0 atau 5
• Bilangan habis dibagi 10 jika digit terakhirnya adalah 0
• Bila bagian satuannya dikalikan, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi, maka bilangan itu habis dibagi.

 

Tes Penalaran Analitis

 Tes Penalaran Analitis

Dalam soal jenis ini, Anda diminta untuk mempelajari suatu cerita singkat dan kemudian melakukan penalaran terhadap setiap pertanyaan yang diberikan berdasarkan informasi dari cerita. Umumnya jawaban dari soal jenis ini tidaklah eksplisit (terlihat langsung dalam cerita). Namun kita harus melakukan penalaran terlebih dulu, untuk kemudian bisa menemukan jawaban yang benar.

 

TIPS:

1. Cermati dan pahami soal cerita.
2. Fokus, konsentrasi, cermat dan teliti saat mengerjakan.
3. Beri tanda pada kata kunci soal cerita.
4. Permudah dengan membuat ilustrasi gambar atau tabel.
5. Perbanyak latihan soal

 

TRIK:

Pelajari model penalaran analitis.

1. Model perbandingan
   Pada model ini kasus yang terjadi di soal berupa perbandingan dua atau lebih nilai. Kemudian Anda diminta untuk menyimpulkan/menganalisis hubungan dari beberapa perbandingan tersebut. Prinsip menyelesaikannya sama seperti yang sudah diuraikan di ringkasan materi aritmetika dasar pada bagian perbandingan.

2. Model urutan Model perbandingan sering kali muncul bersamaan dengan model urutan. Urutan yang terjadi di soal cerita memiliki kata kunci "kurang dari", "lebih dari", "sama dengan/sama seperti/sama banyaknya" sehingga Anda bisa memberi:
• tanda < untuk kata kunci "kurang dari"
• tanda > untuk kata kunci "lebih dari"
• tanda = untuk kata kunci "sama dengan/sama seperti/sama banyaknya"

Beberapa contoh kasus yang berkaitan dengan urutan adalah skor, peringkat, pemenang, tercepat, terpandai, termahir, prioritas pengerjaan atau kunjungan, dan sebagainya.

3. Model hubungan antarsyarat
   Beberapa kejadian berasal dari suatu kondisi yang memenuhi syarat tertentu, hubungannya adalah "sebab­aklbat", "syarat-hasil", "jika ... maka ..." atau p ⇒ Q. Untuk itu Anda harus mencermati keterangan/kata kunci pada soal cerita sehingga dapat menyimpulkan dengan tepat. Syarat terbagi menjadi "syarat cukup", "syarat perlu", dan "syarat mutlak".

1. Syarat Cukup

Pernyataan P dikatakan syarat cukup dari pernyataan Q. Jika P terjadi pastilah terjadi Q dengan kata lain adanya P menjamin adanya Q.
Contoh:
P: Budi bujangan
Q: belum menikah
Mengetahui si Budi Bujangan sudah cukup untuk mengetahui ia belum menikah.

2. Syarat Perlu

Pernyataan Q dikatakan syarat perlu dari pernyataan P, jika Q mutlak diperlukan untuk terjadinya P. Dengan kata lain mustahil ada P tanpa ada Q.
Contoh:
P: Budi bujangan
Q: belum menikah
Jelas jika Budi sudah menikah maka ia tidak bujangan lagi. Jadi, belum menikah adalah syarat perlu untuk menjadi bujangan.

3. Syarat mutlak

Artinya adalah syarat yang harus/mutlak terjadi, p ⇔ Q atau "... jika dan hanya jika ...".
Contoh:
P: air turun dari langit
Q: terjadi hujan
Air turun dari langit jika dan hanya jika terjadi hujan. Dengan demikian air turun dari langit adalah syarat mutlak terjadinya hujan, dan terjadinya hujan juga merupakan syarat mutlak air turun dari langit.

4. Model kombinasi

Permasalahan yang sering muncul di soal cerita dengan penyelesaian model kombinasi adalah masalah tentang penyusunan jadwal suatu kegiatan, kemungkinan banyaknya cara yang terjadi, kemungkinan posisi dengan syarat atau kondisi tertentu (seperti posisi duduk, objek dan ruangan yang tepat, posisi wilayah, dan lain sebagainya), serta pemilihan atau penunjukan objek/calon berdasarkan syarat atau kondisi tertentu (seperti penugasan suatu pekerjaan, calon peserta lomba, dan sebagainya). Untuk mempermudah pengerjaannya, Anda bisa menggunakan tabel atau ilustrasi gambar sesuai dengan aturan penempatan di soal tersebut.

EKSTREM TRIK:

1. Perhatikan hubungan urutan
1. A < B
   B < C
   A < C atau A < B < C

2. A < B
   B > C
   A < B > C
   A dan C tidak dapat ditentukan hubungan urutannya

3. A < B
   B < C
   C = D
   A < C atau
   A < D atau
   A < B < C
   A < B < D atau

2. Perhatikan jawaban yang disediakan

Cara paling cepat saat menyelesaikan soal cerita tes penalaran analitis adalah dengan mencermati pilihan jawaban yang disediakan. Terkadang Anda tidak perlu mencari jawaban sesuai keterangan pada soal, tetapi cukup memilih jawaban yang paling tepat tentunya sesuai dengan syarat dan kondisi pada soal tersebut.

Contoh:

 

1. Hesty, Belly, Penky, dan Melly adalah mahasiswa satu angkatan dari universitas yang sama.
   Hesty lulus sebelum Belly tetapi sesudah Penky, dan Melly lulus sebelum Hesty.
   Kesimpulan ...
1. Hesty lulus sebelum Penky.
2. Belly lulus paling akhir.
3. Melly lulus paling awal.
4. Penky lulus paling awal.
5. Penky dan Melly lulus pada waktu yang sama.

Jawaban : B
Pembahasan:
Dengan menggunakan model urutan maka diperoleh

Sehingga, Belly lulus paling akhir.

2. Ada lima mahasiswa P, Q, R, S, dan T yang mengikuti sebuah seminar. Mahasiswa P dan Q berasal dari fakultas yang sama, dan S dan T juga berasal dari fakultas yang sama. Bila mahasiswa yang berasal dari fakultas yang sama tidak boleh duduk berdekatan, kemungkinan posisi tempat duduk mereka dalam satu deretan adalah ...
1. P, S, T, Q, R
2. P, Q, R, S, T
3. T, R, S, P, Q
4. P, R, T, S, Q
5. S, R, P, T, Q

Jawaban : E
Pembahasan:
Pergunakan TRIK melihat jawaban. Jawaban A, B, C, dan D sangat tidak mungkin karena P berdekatan dengan Q dan S berdekatan dengan T. Jadi jelas bahwa E adalah jawaban paling tepat.

3. Tabungan Anita lebih banyak daripada jumlah tabungan Betty dan Kiki.
   Tabungan Betty lebih banyak daripada tabungan Kiki.
   Tabungan Dian lebih banyak daripada jumlah tabungan Anita, Betty, dan Kiki.
   Kesimpulan ...
1. Tabungan Anita lebih banyak daripada tabungan Dian.
2. Jumlah tabungan Dian dan Kiki sama denganjumlah tabungan Anita dan Betty.
3. Tabungan Dian merupakan penjumlahan tabungan Anita, Betty, dan Kiki.
4. Yang mempunyai tabungan paling banyak adalah Dian.
5. Kiki mempunyai tabungan paling sedikit.

Jawaban : D
Pembahasan:
Dengan menggunakan model urutan maka diperoleh

Sehingga, yang mempunyai tabungan paling banyak adalah Dian.

 

Tes Penalaran Logis

Tes Penalaran Logis

Penalaran Logis menguji peserta untuk mendayagunakan logikanya dalam memahami pernyataan ataupun informasi yang diberikan. Pola yang digunakan dalam tes ini adalah peserta diminta menentukan kesimpulan dari beberapa pernyataan singkat yang diberikan di soal. Peserta wajib menghindari perasaan (opini pribadi) dalam menyelesaikan soal tersebut, karena soal yang diberikan membutuhkan jawaban dari hasil analisis secara logis.

 

TIPS:

1. Pahami dan analisis setiap pernyataan yang diberikan di soal.
2. Ambil kesimpulan logis sesuai dengan pernyataan yang telah diberikan di soal (fakta di soal).
3. Kesimpulan yang diambil merupakan hasil analisis gabungan dari semua pernyataan yang diberikan di soal.
4. Hindari opini.
5. Kerjakanlah sesuai fakta yang terdapat di pernyataan soal.
6. Konsentrasi, fokus, rileks dan jangan panik.
7. Pergunakan waktu sebaik mungkin karena waktu pengerjaan sangat terbatas.
   Artinya, Anda jangan terpaku pada soal yang sulit. Segera lewati soal tersebut setelah memberi tanda bahwa belum dikerjakan dan beralihlah pada soal yang Anda rasa lebih mudah. Jika nanti ada sisa waktu pengerjaan maka kembalilah mengerjakan soal yang sudah Anda tandai.

 

TRIK:

1. Pelajari teknik penarikan kesimpulan yang logis.
1. Modus Ponens

Pernyataan 1 : p ⇒ q
Pernyataan 2 : p
Kesimpulan : q

Contoh:
Pernyataan 1 :
Jika Mandalika lulus ujian maka ia mendapat beasiswa.
Pernyataan 2 :
Mandalika lulus ujian.
Kesimpulan :
Ia mendapat beasiswa.

2. Modus Tollens

Pernyataan 1 : p ⇒ q
Pernyataan 2 : -q
Kesimpulan : -p

Contoh :
Pernyataan 1 :
Jika Mandalika lulus ujian maka ia mendapat beasiswa.
Pernyataan 2 :
Mandalika tidak mendapat beasiswa.
Kesimpulan :
Mandalika tidak lulus ujian.

3. Silogisme

Pernyataan 1: p ⇒ q
Pernyataan 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r

Contoh :
Pernyataan 1 :
Jika Mandalika lulus ujian maka ia mendapat beasiswa.
Pernyataan 2 :
Jika Mandalika mendapat beasiswa maka biaya pendidikan menjadi ringan.
Kesimpulan :
Jika Mandalika lulus ujian maka biaya pendidikan menjadi ringan.

2. Untuk soal yang tidak bisa dikerjakan dengan menggunakan teknik penarikan kesimpulan di atas, maka Anda membutuhkan analisis pernyataan yang telah disediakan di soal sehingga dapat menarik kesimpulan yang tepat. Oleh karena itu, pelajari analisis kejadian berdasarkan Diagram Venn berikut.
1. Semua A bersifat B

Artinya:

• Setiap anggota A memiliki sifat seperti B.
• Ada anggota B yang tidak memiliki sifat seperti A.

2. Ada C yang bersifat A dan B

Artinya:

• Setiap anggota C memiliki sifat seperti A sekaligus/dan seperti B.
• Ada anggota A yang tidak memiliki sifat seperti B.
• Ada anggota B yang tidak memiliki sifat seperti A.

3. A dan B tidak ada hubungan

Artinya:

• Kejadian saling lepas/tidak ada hubungan antara dua kejadian.
• Tidak ada A yang bersifat B.
• Tidak ada B yang bersifat A.

4. Sifat tidak langsung

Artinya:

• Semua A bersifat B.
• Semua B bersifat C.
• Semua A bersifat C.

5. Sifat irisan tiga kejadian

Artinya:

• D bersifat A, B, dan C.
• Ada A yang tidak bersifat B dan tidak bersifat C.
• Ada B yang tidak bersifat Adan tidak bersifat C.
• Ada C yang tidak bersifat A dan tidak bersifat B.
• Ada yang bersifat A dan B, namun tidak bersifat C.
• Ada yang bersifat B dan C, namun tidak bersifat A.
• Ada yang bersifat A dan C, namun tidak bersifat B.

3. Bedakan makna "Semua/Setiap", "Beberapa/Ada/Sementara/Sebagian".

• "Semua" memiliki arti yang sama dengan "Setiap" Apabila suatu kejadian melibatkan "Semua" berarti setiap anggota tersebut tanpa terkecuali.
• "Beberapa" memiliki arti yang sama dengan "Ada", "Sementara", atau "Sebagian".
  Apabila suatu kejadian melibatkan "Beberapa" berarti hanya sebagian kecil anggotanya atau cukup disebut ada.

Contoh:

 

1. Semua murid pandai berhitung dan sopan.
   Asnan tidak sopan, tetapi pandai berhitung.
   Kesimpulan ...
1. Asnan adalah seorang murid yang pandai berhitung.
2. Asnan adalah seorang murid yang tidak sopan.

t

3. Asnan adalah seorang murid yang pandai berhitung dan tidak sopan.
4. Asnan adalah bukan seorang murid meskipun pandai berhitung.
5. Asnan adalah bukan seorang murid yang sopan.

Jawaban : D
Pembahasan:
Sangat jelas bahwa Asnan adalah bukan seorang murid meskipun pandai berhitung.
Terlihat pada Diagram Venn berikut.

A= sifat pandai berhitung
B = sifat sopan
C = murid yang bersikap pandai berhitung dan sopan
Daerah arsiran menunjukkan posisi Asnan sehingga Asnan adalah bukan seorang murid meskipun pandai berhitung.

2. Jika Lutfi lulus kuliah kurang dari atau sama dengan 4 tahun maka ia akan diterima bekerja sebagai karyawan perusahaan bonafit.
   Jika Lutfi bekerja sebagai karyawan perusahaan bonafit maka gaji pertamanya akan digunakan untuk sedekah.
   Gaji pertama Lutfi tidak digunakan untuk sedekah.
   Kesimpulan ...
1. Lutfi menyelesaikan studinya kurang dari 4 tahun.
2. Lutfi menyelesaikan studinya lebih dari 4 tahun.
3. Lutfi bekerja di perusahaan bonafit.
4. Lutfi menyelesaikan studinya tepat 4 tahun.
5. Lutfi bekerja sambil sedekah.

Jawaban : B
Pembahasan:
Terdapat 3 pernyataan di soal maka selesaikan per langkah, yaitu setiap 2 pernyataan ditarik kesimpulannya.
Pernyataan 1 dan 2 ditarik kesimpulan dengan menggunakan silogisme.
Kesimpulan 1 dan pernyataan 3 ditarik kesimpulan akhir dengan menggunakan modus tollens.

Pernyataan 1: p ⇒ q
Pernyataan 2: q ⇒ r
Kesimpulan 1: p ⇒ r
Pernyataan 3: -r
Kesimpulan akhir: -p

Dapat disimpulkan Lutfi menyelesaikan studinya lebih dari 4 tahun.